Формулы сокращенного умножения

Формулы для квадратов

  • (a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2
  • ~a^2-b^2=(a+b)(a-b)
  • \left( a + b + c \right)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

Формулы для кубов

  • (a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3
  • a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)
  • \left( a + b + c \right)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3ab^2 + 3ac^2 + 3b^2c + 3bc^2 + 6abc

Формулы для четвёртой степени

  • (a\pm b)^4=a^4\pm 4a^3b+6a^2b^2\pm 4ab^3+b^4
  • ~a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2) (выводится из a^2-b^2)

Формулы для n-ой степени

  • ~a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})
  • ~a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^2-...-a^2b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1}), где n \in N
  • ~a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})
  • ~a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^2-...+a^2b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n}), где n \in N

Некоторые свойства формул

  • ~(a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}, где n \in N
  • ~(a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}, где n \in N


Примеры для закрепления формул сокращенного умножения
1)    Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
       (a+b)2 = a2+2ab+b2 
  a) (x + 2y)2 = x2 + 2 ·x·2y + (2y)2 = x2 + 4xy + 4y2
б) (2k + 3n)2 = (2k)2 + 2·2k·3n + (3n)2 = 4k2 + 12kn + 9n2
2)    Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
        (a-b)2 = a2-2ab+b2
 а)   (2a – c)2 = (2a)2-2·2a·c + c2 = 4a2 – 4ac + c2
б)   (3a – 5b)2 = (3a)2-2·3a·5b + (5b)2 = 9a2 – 30ab + 25b2
3)    Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.
         a2–b2 = (a–b)(a+b)
a)      9x2 – 16y2 = (3x)2 – (4y)2 = (3x – 4y)(3x + 4y)
б)  (6k – 5n)( 6k + 5n) = (6k)2 – (5n)2 = 36k2 – 25n2
4)  Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
        (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
a)  (m + 2n)3 = m3 + 3·m2·2n + 3·m·(2n)2 + (2n)3 = m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3
б)  (3x + 2y)3 = (3x)3 + 3·(3x)2·2y + 3·3x·(2y)2 + (2y)3 = 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3
5)  Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
а)  (2x – y)3 = (2x)3-3·(2x)2·y + 3·2x·y2 – y3 = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3
б)  (x – 3n)3 = x3-3·x2·3n + 3·x·(3n)2 – (3n)3 = x3 – 9x2n + 27xn2 – 27n3
6)  Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.
a3+b3 = (a+b)(a2–ab+b2)
a)      125 + 8x3 = 53 + (2x)3 = (5 + 2x)(52 — 5·2x + (2x)2) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x2)
б)  (1 + 3m)(1 – 3m + 9m2) = 13 + (3m)3 = 1 + 27m3
7)  Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.
 a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)
а) 64с3 – 8 = (4с)3 – 23 = (4с – 2)((4с)2 + 4с·2 + 22) = (4с – 2)(16с2 + 8с + 4)
б) (3a – 5b)(9a2 + 15ab + 25b2) = (3a)3 – (5b)3 = 27a3 – 125b3
Подписаться на: Сообщения (Atom)