| количество вершин | величина угла | Сумма углов |
| 3 | 60 | 180 |
| 4 | 90 | 360 |
| 5 | 108 | 540 |
| 6 | 120 | 720 |
| 8 | 135 | 1080 |
| 9 | 140 | 1260 |
| 10 | 144 | 1440 |
| 12 | 150 | 1800 |
| 15 | 156 | 2340 |
Многоугольник – это замкнутая ломаная без самопересечений. Или в более полной формулировке: многоугольник – это фигура, составленная из отрезков, так что:
1. смежные отрезки не лежат на одной прямой;
2. несмежные отрезки не имеют общих точек.
Отрезки называются сторонами многоугольника, концы этих отрезков – вершинами многоугольника.
Правильный многоугольник является частным случаем произвольного многоугольника
Правильным называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
n = 3. Это уже хорошо знакомый нам правильный треугольник. У него все стороны равны (АВ = ВС = АС) и все углы равны (ÐА = ÐВ = ÐС = 60°), сумма углов равна 180°.
n=4. Это не менее хорошо знакомый нам квадрат (правильный четырехугольник). Все стороны равны (АВ = ВС = CD = AD) и все углы равны (ÐА = ÐВ = ÐС = ÐD = 90°), сумма внутренних углов равна 360°.
 |
Далее попробуем ответить на вопрос: а какова сумма градусных мер всех внутренних углов многоугольника при произвольном n?
Ответ дает следующая теорема:
Сумма углов выпуклого многоугольника равна 
, где n – число сторон многоугольника.
, где n – число сторон многоугольника.
Доказательство. Рассмотрим произвольный выпуклый многоугольник А1 … Аn
Построим диагонали многоугольника (см. Рис. 4), исходящие из одной вершины, например, А1. Получаем серию треугольников, обозначенных на рисунке ∆1, ∆2, … ∆n-2. Сумма углов каждого из этих треугольников нам известна, она равна 180°. Число треугольников, на которые можно разбить многоугольник указанным способом, равно (n – 2). Тогда искомая сумма углов есть сумма углов всех треугольников, на которые разбит многоугольник, то есть . Теорема доказана.
. Теорема доказана.
Для произвольного выпуклого многоугольника важную роль играет теорема о сумме внешних углов:
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°.
Доказательство. Рассмотрим внешние углы β1, β2, … βn выпуклого многоугольника (Рис. 5).
Для этих углов справедливы следующие соотношения:
,
где α1, α2 , … αn – внутренние углы многоугольника. Справедливость приведенных соотношений вытекает из свойств смежных углов. Сложим приведенные равенства:
. Используя предыдущую теорему, получим 
, а раскрыв скобки, получим в правой части 360°, то есть придем к выражению, приведенному в формулировке теоремы.
Имея на вооружении сформулированные свойства правильных многоугольников и доказанные теоремы, приступим к решению задач.
Дано число сторон правильного многоугольника n. Найти угол αn.
Решение.
Согласно теореме, сумма углов многоугольника равна 180° · (n – 2). С другой стороны, поскольку многоугольник правильный, все его углы равны, а следовательно, сумма этих углов равна 
, где αn – искомый угол. Приравнивая эти два выражения, получим, что внутренний угол правильного многоугольника равен: 
.
, где αn – искомый угол. Приравнивая эти два выражения, получим, что внутренний угол правильного многоугольника равен: .
Решим задачу на нахождение числа сторон правильного многоугольника.
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если:
а. каждый его угол αn равен 150°?
б. каждый его внешний угол βn равен 120°?
Решение.
а. Используем формулу для угла правильного многоугольника, полученную при решении предыдущей задачи. Отсюда выразим число сторон многоугольника 
; подставив в это выражение значение угла, данное в условии задачи, получим n = 12.
. Отсюда выразим число сторон многоугольника ; подставив в это выражение значение угла, данное в условии задачи, получим n = 12.
б. Очевидно, что у правильного многоугольника все внешние углы равны между собой, следовательно, сумма внешних углов правильного многоугольника равна 
. С другой стороны, теорема о сумме внешних углов многоугольника дает нам численное значение этой суммы, т. е. 360°. Приравнивая этому значению выражения для суммы углов и учитывая заданное в условии значение внешнего угла, получим: 
, откуда n = 3 (равносторонний треугольник).
. С другой стороны, теорема о сумме внешних углов многоугольника дает нам численное значение этой суммы, т. е. 360°. Приравнивая этому значению выражения для суммы углов и учитывая заданное в условии значение внешнего угла, получим: , откуда n = 3 (равносторонний треугольник).
Итак, мы познакомились с правильным многоугольником. На следующем уроке мы познакомимся с окружностью, описанной около правильного многоугольника.