Признаки делимости

Признаки делимости:

• на 2
  
  Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является четной (0,2,4,6,8)
• на 3
  Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сума его цифр делится на 3
• на 4
  Число делится на 4, когда две последние цифры нули или составляют число, делящееся на 4. Например, 14676 — последние цифры 76, и число 76 делится на 4: 76:4=19.
  Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 4. Например, число 42 не делится на 4, так как 2*4+4=10 не делится на 4
• на 5
  Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 или на 5
• на 6
  Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3)
• на 7
  Признак 1: число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.
  Например, 154 делится на 7, так как на 7 делится 15*3+4=49
  1001 делится на 7, так как на 7 делятся 100*3+1=301;
  30*3+1=91;
  9*3+1=28;
  2*3+8+14;
  1*3+4=7
  
  Признак 2: число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7. Например, 138 689 257 делится на 7, так как на 7 делится I138-689+257 I=294
• на 8
  Число делится на 8, когда три последние цифры составляют число, делящееся на 8. Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8. Например, 952 делится на 8 так как на 8 делится 9*4+5*2+2=48
• на 9
  Число делится на 9, когда сумма его цифр делится на 9. Например, сумма цифр числа 12345678 делится на 9, следовательно и само число делится на 9. 1+2+3+4+5+6+7+8=36
• на 10
  Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
• на 11
  Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места, делится на 11. Например, 9 163 627 делится на 11, так как I (9+6+6+7)-(1+3+2)I=22 делится на 11. Другой пример — 99077 делится на 11, так как I(9+0+7)-(9+7)I=0  делится на 11
  
  Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся 10+37+85=132 и 10+31=33
  
  Признак 3: зачеркнув в данном числе три последние цифры, вычитают из числа, образованного оставшимися цифрами, число, образованное зачеркнутыми цифрами (или наоборот, в зависимости от того, какое из них больше); если остаток равен нулю или делится на 11, то данное число разделится.
• на 13
  
  Признак 1: Число делится на 13, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13. Например 845 делится на 13, так как на 13 делятся
  84+5*4=104 и 10+4*4=26
  - когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13. Например 845 делится на 13, так как на 13 делятся 84-9*5=39
  
  Признак 2: зачеркнув в данном числе три последние цифры, вычитают из числа, образованного оставшимися цифрами, число, образованное зачеркнутыми цифрами (или наоборот, в зависимости от того, какое из них больше); если остаток равен нулю или делится на 13, то данное число разделится
• на 17
  Число делится на 17 тогда:- когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17. Например, 221 делится на 17, так как I 22-5*1 I=17 делится на 17.
  - когда модуль суммы числа десятков и числа двенадцать умноженной на кол-во единиц делится на 17. Например, 221 делится на 17, так как I 22+12*1 I=34 делится на 17
• на 19Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например, 646 делится на 19, так как на 19 делятся 64+2*6=76 и 7+2*6=19
• на 20
  Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.
  Другая формулировка: число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная
  
  

  
  

  Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23. Например, 28842 делится на 23, так как на 23 делятся 288+3*42=441 и 4+3*14=46
  Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как 39+7*1=46 делится на 23.
  Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как 3+7*9+3*1=69 делится на 23.
  Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.
  
  Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).